黄蓉说：靖哥哥，这道数学题我会…

時間:11/05/2018 瀏覽: 4869

金庸（1924年3月10日-2018年10月30日），原名查良镛，生于浙江省海宁市，1948年移居香港。当代武侠小说作家、新闻学家、企业家、政治评论家、社会活动家，“香港四大才子”之一。

作为90后，相信许多人也跟小天一样，都看过金庸先生的小说翻拍成的电视剧，比如《飞狐外传》、《神雕侠侣》、《倚天屠龙记》、《天龙八部》、《鹿鼎记》等。

那时候不像现在，没有pad，没有智能手机，每天最开心的事情莫过于写完作业后，能在看会电视。虽然这些作品已经过去了多年，但我们也从未忘记过。

作为一名十八线的科普网红，今天我们来掰掰金庸先生的小说中的数学文化。

在《射雕英雄传》之中就有这么一段情节：

黄蓉坐了片刻，精神稍复，见地下那些竹片都是长约四寸，阔约二分，知是计数用的算子。再看那些算子排成商、实、法、借算四行，暗点算子数目，知她正在计算五万五千二百二十五的平方根，这时“商”位上已记算到二百三十，但见那老妇拨弄算子，正待算那第三位数字。黄蓉脱口道：“五！二百三十五！”
那老妇吃了一惊，抬起头来，一双眸子精光闪闪，向黄蓉怒目而视，随即又低头拨弄算子。这一抬头，郭、黄二人见她容色清丽，不过四十左右年纪，想是思虑过度，是以鬓边早见华发。那女子搬弄了一会，果然算出是“五”，抬头又向黄蓉望了一眼，脸上惊讶的神色迅即消去，又见怒容，似乎是说：“原来是个小姑娘。你不过凑巧猜中，何足为奇？别在这里打扰我的正事。”顺手将“二百三十五”五字记在纸上，又计下一道算题。

这段故事当中，郭靖与黄蓉被铁掌派追杀，郭、黄二人无意中闯到瑛姑的小屋中，正巧撞见瑛姑正在算这样一道开平方的问题。

那么小说当中，宋朝人用来计算平方根的方法是什么呢？我们今天就来介绍一下。

增乘开方法

小说中所提到的这种计算平方根的方法叫做增乘开方法，是由我国古代数学家贾宪在十一世纪中叶所提出来的，其方法与意大利数学家鲁裴尼（P.Ruffini）和英国数学家霍纳（W.G.Horner）所提出来的高次方程数值解法相同，但比他们早了750年。想深入地讲解了核心数学的古代史，推荐阅读《古今数学思想》

那么增乘开方法是如何来计算一个数的平方根的呢？

举个例子

我们就以小说中瑛姑所计算的求55,225的平方根这个问题为例（为了便于理解我们就直接用阿拉伯数字来表示，就不用算筹啦。

首先我们把55,225放入实这一行。

1.由于55,225是一个五位数，因此我们估算商应当是一个三位数，并且由于万位上的数是5，所以估计商的百位数是2（200的平方是40,000，而300的平方是90,000，所以商的百位数一定是2）。

2.令借为1，法的值则为借乘商（1×2）。

3.更新实，使之为原实减去商乘法（5-2×2=1），则新实为1。

4.更新法为商乘借加到旧法上（2+2×1=4）。

5.将法后移一位，借后移两位。

然后我们再次重复1- 5的循环；

1.估算商的十位为3（3×4,000=12,000＜15,225）。

2.更新法，为原法加十位商乘借（4,000+3×100=4,300）。

3.更新实，使之为原实减去商乘法（15,225-4,300×3=2,325），则新实为2325。

4.更新法为商乘借加到旧法上（43+3×1=46）。

5.将法后移一位，借后移两位。

第二轮结束，第三轮开始，再一次重复这五个步骤。

1.估算商的个位为5。

2.更新法，为原法加个位商乘借（460+5×1=465）。

3.更新实，使之为原实减去商乘法（2325-465×5=0）。

到这一步我们惊喜的发现，实的值为0了，也就是说我们最后解出来了55,225的平方根为235。

我们可以再验证一下，计算235的平方。

发现235的平方果然是55,225，也就是说我们的计算结果是正确的。

增乘开方法的步骤

总结一下，增乘开方法其实一共五个步骤：

估算商；
用商乘借加到法上；
实减去商乘法；
再用商乘借加到法上；
法后移一位，借后移两位。

然后只要不断地循环上述步骤，直到实为0，此时的商就是我们所求的平方根的值啦。

案例二：如何用增乘开方法开更高次方？

案例一我们说到，郭靖黄蓉二人误打误撞来到了瑛姑的小屋，看到她正在计算一道开平方的问题，我们继续来看小说后面的案例二：

这次是求四34012240的立方根，她刚将算子排为商、实、方法、廉法、隅、下法六行，算到一个“三”，黄蓉轻轻道：“三百二十四。”那女子“哼”了一声，哪里肯信？布算良久，约一盏茶时分，方始算出，果然是三百二十四。

接下来瑛姑又计算了一道开立方的问题，那么如何来开一个数的立方根呢？

其实之前我们所讲的增乘开方法，不只能用来开平方根，还能用来开立方以及更高次方的根。

小说中的bug

书中所写故事的时代背景是写到成吉思汗去世为止，成吉思汗死于公元1227年，而关于贾宪的增乘开方法的提出时间，所能找到的最早的记载是杨辉的《详解九章算法纂类》，该书写于1261年。
也就是说，瑛姑所用的开平方的方法，如果按照时间关系上来看，所用的应该是时间更早的《九章算术》中的开平方的方法；但如果根据书中所写的瑛姑把算筹摆成“商、实、法、借”四行的话，就应该用的是贾宪的增乘开方法了。
而瑛姑所用的开立方的方法，将算子摆为六行，又是《九章算术》的方法了，用增乘开方法的话只需要摆成五行就够了。
增乘开方法是贾宪在《九章算术》中开方的方法的基础上，对传统方法进行改进，并推广到了开更高次方的情况，因此，我们还是主要来介绍增乘开方法。
我们先来复习一下，之前所讲的增乘开方法的五个步骤：估算商；用商乘借加到法上；实减去商乘法；再用商乘借加到法上；法后移一位，借后移两位。